Probabilidade e Estatística

Introdução

População, amostra e dados (Devore; 2011)

A disciplina de estatística permite organizar uma variedade de dados a fim de tirar conclusões a respeito destes. Os dados são um conjunto de fatos mensurados por diversas técnicas. Uma boa investigação se baseia na coleção bem definida de dados, o que denominamos população de interesse.
Uma população pode ser dada por todas as "gelatinas" de um determinado depósito, pode ser a de todos os alunos que receberam disciplina em determinado ano, década; pode ser da opinião de alunos com determinada idade em um município, estado ou país. Quando temos uma grande fonte de informação para uma determinada população, então temos o que chamamos de censo.
A realização de censos são muito caros e exigem recursos de várias ordens e tipos, exigem muito tempo e por isso são raramente utilizados. É comum que o Estado utilize este tipo de levantamento, uma vez que depende de informações precisas para tomadas de decisões com o menor erro possível. Ter o menor erro possível é o melhor caminho para melhor tomada de decisão, contudo isto pode ser caro. Já para empresas que possuem recursos limitados censos não são a melhor forma de trabalho até por conta da dinâmica de mudança de perfil e exigência dos consumidores.
Uma alternativa possível é o subconjunto de dados da população o que chamamos amostra. Desta forma, podemos escolher características uma população a serem estudadas via amostras. As características podem ser um atributo qualitativo ou quantitativo, como dureza ou peso, por exemplo.
A variável é uma característica que pode "variar" dentro da população e consequentemente da amostra estudada. Estas são geralmente representadas por letras:

• X - marca de calculadora;
• Y - número de defeitos graves em um automóvel novo;
• Z - distância de frenagem de um automóvel sob condição específica;

Dados univariados são observações de uma variável única. Por exemplo, podemos determinar o tipo de transmissão: automático (A) ou manual (M), de cada um entre 10 automóveis vendidos em uma determinada revendedora.

Dados binariados são observações em cada duas variáveis, ou seja, se desejamos observar os jogadores de futebol em dados pareados como altura e peso: 1 jogador (186, 73), 2 jogador (212,75)

Caso um engenheiro queira, poderia utilizar dados bivariados sendo X = vida útil do componente e Y = motivo de falha do componente, desta vez os dados serão compostos de um dado numérico e outro categorizado.

Dados multivariados são observações sobre mais de duas variáveis. Geralmente ocorre em casos onde há necessidade de grande número de variáveis para tomada de decisões. No caso de médicos pesquisadores que cruzam dados de várias naturezas com características diferentes para observações de relações entre os dados. Por exemplo, pressão, glicose e altura (120, 80, 146).

Coleta de dados é uma das fases mais importantes de qualquer pesquisa, contudo, mesmo antes de inciar uma coleta de dados é necessário que saibamos qual a classificação do dado que estamos interessados. Para tanto é necessário entender a classificação possível para os dados:
Qualitativos:

• Nominais - Classificação quanto ao sexo.
• Ordinais - Classificação Quanto a ordem predeterminada: alfabeto, idade, altura,

Quantitativos

• Discretos Levantamento do N de filhos por mulher.
• Contínuos - Levantamento das áreas de lotes a venda.

Esquema simplificado de Classificação de Dados

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População e Amostra
Classificação de Dados

Medidas de Dispersão

Iremos trabalhar uma série de parâmetros a fim de entender melhor como as medidas de dispersão funcionam.

1. Amplitude Total

A amplitude total nada mais é do que a diferença entre o maior e o menor valor da população ou amostra analizada. Pode parecer a princípio uma ideia muito simples, mas associada com outros parâmetros nos dá uma noção a mais para comparação e comportamento dos dados. Veremos isso nas Aulas e Vídeo Aulas.


$Amplitude "Total" = Maior "Valor" - Menor"valor"$



2. Desvio Quartílico

O desvio quartílico busca os valores que dividem em quartos a quantidade de dados que estamos analisando. Ou seja, é uma posição que indica um valor para, por exemplo, até 25% dos dados em quantidade.

Primeiro Quartil $Q1=\frac{(N+1)}{4}$

Segundo Quartil $Q2=\frac{2(N+1)}{4}$

Terceiro Quartil $Q3=\frac{3(N+1)}{4}$

Onde:


$N$ é a população.



Um ponto muito importante é que o desvio quartílico é dado sobre N, ou seja, número de dados, logo, é o cálculo de uma posição e não valor. Assim, é fundamental que os dados estejam em ordem crescente para que possamos encontrar os valores. correspondentes às posições calculadas.


3. Média

Dispensa comentários, é a soma de todos os valores de interesse, dividivos pela quantidade de valores (Números).

Media$=\frac{\sum X}{N}$
Onde;

$\sum x$ = Somatória dos valores de X; e


$N =$ Quantidade de valores de X.



4. Desvio Médio

É o desvio em relação a média. Observe na fórmula que depende da média para ser calculado.


$DM=\frac{\sum{\mid x-\bar{x}\mid}}{N}$

Onde:
$\hspace{10cm}N$ é a população.
$\hspace{10cm}\bar{x}$ é a média;
$\hspace{10cm} {x}$ são os valores.


5. Desvio Padrão
É como se fosse uma régua, mas ao contrário da que utilizamos, ela é fornecida pelos valores estudados. Ou seja, é uma distribuição padrão que os próprios números nos oferecem.


$\theta=\sqrt{\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}}$

Onde:
$\hspace{10cm}N$ é a população.
$\hspace{10cm}\bar{x}$ é a média;
$\hspace{10cm} {x}$ são os valores.


6. Variância
   
   
É a explosão do Desvio Padrão. Isto, pois quando explodimos os valores utilizando quadrados ou cubo, diferenças que poderiam ser pequenas podem se tornar grandes e passíveis de serem interpretadas próximas ou distantes umas das outras.


$\theta^2=\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}$

Onde:

$\hspace{10cm}N$ é a população.
$\hspace{10cm}\bar{x}$ é a média;
$\hspace{10cm} {x}$ são os valores.

Como isso acontece partindo do Desvio Padrão



$(\theta)^2=\bigg(\sqrt{\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}}\bigg)^2$; o quadrado cancela a raiz.



$(\theta)^2=\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}$



$\theta^2=\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}$


Um rápido exemplo é o que acontece com as diferenças quando aplicamos o quadrado.
Qual a diferença entre 4 e 5? É 1. Mas e se aplicarmos o quadrado nos valores?

$5-4=1$

O 5 se torna 25, e o 4 se torna 16.
Ocorre que a diferença entre 4 e 5 que era 1, agora, com a elevação, é 9, entre 25 e 16.

$5^2-4^2=16$

Isso torna possível que enxerguemos dentro de um conjunto de dados, ou comparando conjunto diferentes, quem realmente é próximo a quem, tornando possíveis comparações que antes seriam pouco sentidas.




7. Coeficiente de Variação

É uma forma de calcular a qualidade dos dados, se bons ou ruins. Para isso utilizamos uma tabela arbitrária como base.


Classificação	Intervalos
Baixo	x < 10%
Médio	10% ≤ x < 20%
Alto	20% ≤ x < 30%
Muito Alto	30% ≤ x

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Média e Amplitude Total (Máxima)
Amplitude e Distribuição
Desvio Quartílico
Desvio Médio
Desvio Padrão
Variância 01
Variância 02

Partes de Uma Tabela

1. Título
Explicação do conteúdo de uma tabela.

2. Corpo
Composto de dados organizados em linhas e colunas que se cruzam.

3. Cabeçalho
Série de informações de dados organizados horizontalmente.

4. Comunicadores
Série de dados organizados verticalmente.

O cruzamento entre linhas e colunas são denominados células e podem ser utilizados para localização de dados de interesse.

Tabelas de Freqüência

Para ser bem direto abaixo temos uma tabela de frequência. Apesar de básica, muitas informações podem e são tiradas destas tabelas com a finalidade de nos orientar a respeito do que pode acontecer, ou seja, prever o que pode acontecer. Veremos isso com mais detalhes nas aulas. E isso fica tanto mais claro, quanto mais estudamos os demais assuntos. Contudo, é com a construção desta tabela que vamos nos ater agora.

• Classe
É como vamos denominar algo que está entre a faixa, intervalo de classe. Por exemplo, material tipo "A", Nota A (faixa de nota)


• Intervalo/Faixas das Classe
O começo o o final do intervalo de uma classe. É o intervalo, onde começa e termina os valores que compõem a classe.


• Freqüência Absoluta
A frequência absoluta, como o nome diz, informa absolutamente a quantidade existente dentro da faixa, intervalo.


• Freqüência Relativa
A Freqüência Relativa é uma relação entre a quantidade absoluta sobre a quantidade total, um valor sempre zero virgula alguma coisa.


• Freqüência Acumulada
Freqüência Acumulada é a soma das absolutas até o ponto onde estamos (Classe). O valor da última Freqüência Acumulada é sempre o total, por óbivo.


• Porcentagem "Relativa"
É simplesmente o valor da Freqüência Relativa da Classe de interesse vezes 100, o que nos dá um valor em porcentagem.


• Porcentagem "Acumulada"
É simplesmente o valor da Freqüência Acumulada até a Classe de interesse vezes 100, o que nos dá um calor em porcentagem.

Classes ---	Intervalos Faixas	Freqüência Absoluta	Freqüência Relativa	Freqüência Acumulada	Relativa %	Acumulada %
A	-15 a -12	22	0,2316	22	23,16	23,16
B	-12 a -01	23	0,2421	45	24,21	47,37
C	-01 a 10	10	0,1053	55	10,53	57,89
D	10 a 20	35	0,3684	90	36,84	94,74
E	20 a 78	5	0,0526	95	5,26	100
---	---	95	1,00	---	100	100

Procedimentos para uma Tabela de Frequencia

1. Encontrar a Amplitude Máxima
A primeira coisa a se fazer é descobrir a distância entre o menor valor e o maior valor. Isto, pois é esse valor que vamos dividir em partes iguais utilizando o passo seguinte.

2. Definir o Número de Faixas (Classes)
O número de faixas pode ser arbitrário, ou seja, você define como quiser. Contudo isso pode ser mais difícil do que parece, já que pode escolher muitas faixas e algumas não apresentar informações; ou poucas faixas, o que tornaria a tabela pouco útil para tomada de decisões. Uma forma elegante é perguntar a quantidade de números que está estudando a sua melhor distribuição. Eu, por exemplo, utilizo Raiz de N, a melhor distribuição do próprio número. Resumindo, ou você define o número ou pede para "N" te mostrar um. Sabendo que N é a população.


$ k=\sqrt{N} $

Onde;

k = Número de classes; e
N = Número de valores.
3. Encontrar as Classes, Faixas, Intervalos
Com a informação da Amplitude Total dividida pelo Número de Faixas encontramos o intervalo a serem respeitados. Assim, começamos do valor mais baixo somando o valor desta divisão, até encontrarmos o valor mais alto.

$Intervalos.das.Faixas=\frac{Amplitude.Total}{Nº.Faixas}$


4. Classificar os dados
De posse dos intervalos, ou seja, em que valor inicia uma classe e onde ela termina podemos começar a preencher os dados da tabela a fim de interpretar algum comportamento dos dados e/ou realizar estudos de probabilidade e estatística com base na tabela.

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Tabela de Freqüência

Diagrama de Caule e Folha

A tragédia que ocorreu com o ônibus espacial Chalenger e seus tripulantes, em 1986 e levou a diversos estudos a investigar os motivos de falha na missão. A atenção voltou-se ao comportamento dos anéis de vedação do motor do foguete.

• x = temperatura do anel de vedação do motor (F) de cada testes de acionamento ou lançamento real do motor do foguete da nave.
• Dados de temperatura do anel de vedação do motor do foguete: 84 49 61 40 83 67 45 66 70 69 80 58 68 60 67 72 73 70 57 63 70 78 52 67 53 67 75 61 70 81 76 79 75 76 58 31
• N = 36
• Caule da temperatura = L; H (0-4; 5-9);
• Unidade da Folha = 1,0

Procedimentos

Selecione um ou mais dígitos de liderança para serem o caule. Os dígitos a direia da liderança serão as folhas. Relacione os valores de caule possíveis em uma coluna vertical. Registre a folha de cada observação ao lado do caule correspondente.

Acumulado	Abertura	Folhas
1	3	1
1	3
2	4	0
4	4	59
6	5	23
9	5	788
13	6	0113
20	6	6777789
26	7	000023
32	7	556689
36	8	0134

O diagrama de Caule e Folha informam:

1. Identificação de valor típico;
2. Extensão da dispersão ao redor do valor típico;
3. Presença de lacunas dos dados;
4. Extensão da simetria da distribuição de valores;
5. Número e localização dos picos;
6. Presença de valores fora da curva.

A técnica de Caule e Folha permite acompanhar comparativamente dois grupos de dados.

3

A..........	Caule..........	B..........
0	1	3
2	2	66
65	3	9875
65813	4	56
54	5
2	6

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Diagramas de Caule e Folha

S Alternativo”

S alternativo é uma forma reescrita do numerador do desvio padrão. Isto permite a observação das variações entre e dentro dos grupos de valores estudados. É uma fórmula largamente utilizada na análise de variância.

Reescrevendo teremos:

$\bar{x}=\frac{\sum x}{n}$

$\bar{x}.n=\sum x$

Elevando ao quadrado o termo anterior e reescrevendo teremos:

$\hspace{10cm}n^2\bar{x}^2=(\sum x)^2$

$\hspace{10cm}n.n.\bar{x}^2=(\sum x)^2$

$\hspace{10cm}n.\bar{x}^2=\frac{(\sum x)^2}{n}$

A média é sempre o mesmo número, portanto n vezes a média é igual a somatória da média

Podemos Reescrever a parte $\sum(x-\bar{x}^2)$ como:

$\sum(x-\bar{x}^2)$
$\sum(\bar{x}^2-2x\bar{x}^2+\bar{x}^2)$
$\sum x^2-2\bar{x}\sum x+$$\sum\bar{x}^2$
$\sum x^2-2\bar{x}n\bar{x}+$$n\bar{x}^2$
$\sum x^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2$
$\sum x^2-$$n\bar{x}^2$$ $
$\sum x^2-$$\frac{(\sum x)^2}{n}$$ $

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S Alternativo 01
S Alternativo 02
Soma dos Quadrados e Quadrado da Soma
S Alternativo 02
Dentro e Entre
Dentro (SQ Total) e Entre (SQ Tratamento)

Tipos de Curvas

Temos algumas possibilidade de curvas para a distribuição de dados. Entre elas:

1. Simétrica em forma de Sino

2. Moderadamente Assimétrica (Positiva ou Negativa)

3. Em "J"

4. Em "U"

5. Bimodal

6. Mutimodal

Variável Reduzida

É dado por um valor da população - ou de interesse - menos a média, dividido pelo desvio padrão da população.

$Score Z = \frac{x-\bar{x}}{\theta}$

Onde:
$\hspace{10cm}{\theta}$ = Desvio Padrão;
$\hspace{10cm}\bar{x}$ = Média;
$\hspace{10cm} {x}$ = Valor arbitrário em estudo.

O que é melhor? o Aluno nota 10 da escola nota 5? Ou o aluno nota 5 da escola nota 10? Essa pergunta é capsiosa, pois não a princípio podemos dizer que dá na mesma, assim como poderíamos dizer que depende do que estamos falando, coisa e tal.
Se o critério entre escolas fosse rigorosamente o mesmo, então daria na mesma, pois o aluno nota 10 da escola nota 5, bem como o aluno nota 5 da escola nota 10 se equiparariam.
Supondo Desvio Padrão $\theta=2,0$ para as escolas;
Teríamos então para cada caso:
Score $Z = \frac{5-\bar{10}}{2}$
Score $Z = \frac{-5}{2}$
Score $Z = -2,5$
$\hspace{4.5cm}$ Score $Z = \frac{10-\bar{5}}{2}$

$\hspace{5cm}$ Score $Z = \frac{5}{2}$
$\hspace{5cm}$ Score $Z = 2,5$
Prestando atenção nos resultados vemos que na escola nota 10 (Média) o aluno nota 5 (x) está desviado negativo -2,5 (Score $Z$), já na escola nota 5 (Média) o aluno nota 10 (x) está desviado positivo 2,5 (Score $Z$). A tendência dos alunos é se encontrarem no mesmo ponto comparativamente. Vídeo Aula em desenvolvimento

Distribuição Normal

É a distribuição contínua de probabilidade, também conhecida como curva de Gauss.
$y=\frac{1}{\theta\sqrt{2.\pi}}.e^\frac{-0,5.(x-\mu)^2}{\theta}$

Onde;
$\hspace{10cm}\mu$ = Média;
$\hspace{10cm}\theta$ = Desvio Padrão
$\hspace{10cm}\pi$ = Pi

Análise Combinatória

A dificuldade de análise de eventos complexos é particularmente difícil e desta forma os conceitos de análise combinatória se tornam relevantes.
Exemplo: 3 candidatos a GOVERNADOR e 5 a PREFEITOS. De quantas maneiras podem ocorrer as eleições caso sejam escolhidos apenas um GOVERNADOR e um PREFEITO.
$3$x$5 = 15$
O fatorial de $n$ é $n!$ que é igual a:
$n!=n.(n-1).(n-2)...1$ Por convenção $0!=1$

Permutações

É um arranjo de r dos n objetos tomados r de cada vez.

$nPr = n(n−1)(n−2)...(n−r+1)$

$nPr = n! n−r$

O número de permutações de n objetos tomados na n é:
$nPn = n(n−1)(n−2)...1 = n!$
Exemplo 3 alunos. O número de possibilidades de alunos tomados 2 a 2 é:

$3P4=3.2=6$

Caso haja repetições, ou seja, existem mais de um valor igual para n, então:

$nPn = n! n1!n2!$

onde;

$n=n1+n2+n3+...nk$
Combinação n objetivos, tomados r de cada vez, não se levando em consideração a ordem ou repetição. $nCr = n(n−1)(n−2)...(n−r+1)$

Teoria Elementar da Probabilidade e Definição

É a probabilidade de ocorrência do evento $E$, dado acontecer de $h$ maneiras diferentes, no total $n$ de modos possíveis e prováveis. Assim, podemos dizer que é o número absoluto de casos específicos, dividido pelo número absoluto total de casos estudados.

$p=Pr{E}=\frac{h}{n}$

O contrário, a não probabilidade de ocorrência ou fracasso só pode se dar pelo oposto a probabilidade de sucesso:

$p=Pr\{$Não$E\}=1-\frac{h}{n}$

$p=Pr\{$Não$E\}=1-\frac{n-h}{n}$

$p=Pr\{$Não$E\}=1-p$

$p=Pr\{$Não$E\}=1-Pr\{E\}$

Probabilidade Condicional

Seja E1 e E2, dois eventos. Se E2 ocorrer depois de E1, então teremos:

$Pr(E1/E2)$ ou $Pr(E2$ dado $E1)$

Serão INDEPENDENTES se E1 não afetar E2:,

$Pr(E1E2) = Pr(E1).Pr(E2)$;

Para 3 eventos teremos:

$Pr(E1E2E3)=Pr(E1).Pr(E2).Pr(E3)$;

Em geral E1, E2 e E3 são eventos independentes.

Serão DEPENDENTES se E1 afetar E2, então:

$Pr(E2/E1)=Pr(E2)-Pr(E2E1)$

$Pr(E1/E2/E3)=Pr(E1).Pr(E2/E1).Pr(E3/E2E1)$

Mutuamente Excludentes

Se sua ocorrência obrigatoriamente exclui outras possibilidades, então:

$Pr(E1E2)=0$

Logo;

$Pr(E1+E2)=Pr(E1)+Pr(E2)-Pr(E1E2)$

Em paticular teremos:

$Pr(E1+E2)=Pr(E1)+Pr(E2)$

Distribuição Binomial

Há muitos experimentos de probabilidade para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: sucesso e fracasso. Experimentos de probabilidade como esses são chamados de experimentos binomiais. Devem preencher os seguintes critérios:

1. O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, onde cada tentativa é independente das outras;
2. Há apenas dois possíveis resultados de interesse para cada tentativa: sucesso ou fracasso;
3. A probabilidade de um sucesso ou de fracasso é conhecida e é a mesma para todas as tentativas;
4. A variável aleatória x sempre contabiliza os números de tentativas com sucesso;

Onde;

n = número de vezes que uma tentativa é repetida;

p = probabilidade de sucesso em uma tentaiva única;

q = a probabilidade de fracasso em uma tentativa única;

x = a variável aleatória representa a contagem de número de sucessos nas tentativas x= 1, 2, 3, ..., n.

Se p é probabilidade de sucesso se q=1-p é a de fracasso ou não sucesso, então a probabilidade de x ocorrências em n vezes (tentativas) é:

$p(x)=nCx.p^x.q^{n-x}\hspace{5cm}p(x)=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^xq^{n-x}$

A distribuição binomial ou discreta de probabilidade é também conhecida como de Bernoulli.

Poisson

É dado por:

$p(x)=\frac{\lambda^x.e^{-\lambda}}{x!}$

Onde;

$\lambda$ = Média
x = Número de sucessos;
e = Neperiano.

Propriedades de Poisson

Média$\hspace{2cm}\mu=\lambda$
Variância$\hspace{1.5cm}\sigma^2=\lambda$
Desvio Padrão$\hspace{0.9cm}\sigma=\sqrt{\lambda}$
Se n é muito grande e a probabilidade p for mínima ou próxima de zero, então $q=1-p$ tende a 1. Isto é chamado evento raro. Como regra prática pode-se aplicar n$\le$5.

MATERIAL EM ELABORAÇÃO - Desconsiderar deste ponto para baixo

Primeiro Quartil $Q1=\frac{(N+1)}{4}$

Segundo Quartil $Q2=\frac{2(N+1)}{4}$

Terceiro Quartil $Q3=\frac{3(N+1)}{4}$

Média$=\frac{\sum X}{N}$

$DM=\frac{\sum{\mid x-\bar{x}\mid}^2}{N}$

$\theta=\sqrt{\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}}$

$Var=\frac{\sum{(x-\bar{x})}^2}{N}$

Coeficiente de Variação$=\frac{\theta}{\bar{x}}$

Fatorial de $n$ é $n!$ que é igual a. $n!=n.(n-1).(n-2)...1$ onde $0!=1$

Independente$Pr(E1E2) = Pr(E1).Pr(E2)$


Independente$Pr(E1E2E3)=Pr(E1).Pr(E2).Pr(E3)$

Dependente$Pr(E2/E1)=Pr(E2)-Pr(E2E1)=Pr(E1).Pr(E2).Pr(E2/E1)$

Dependente$Pr(E1E2E3)=Pr(E1).Pr(E2/E1).Pr(E3/E2E1)$

Mutuamente Excludente$Pr(E1E2)=0$

Mutuamente Excludente$Pr(E1+E2)=Pr(E1)+Pr(E2)$

Mutuamente Excludente$Pr(E1+E2)=Pr(E1)+Pr(E2)-Pr(E1E2)$

Binomial$p(x)=nCx.p^x.q^{n-x}$

Binomial$p(x)=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^xq^{n-x}$

$SQ_{Total}=\sum X^2-\frac{(\sum x)^2}{N}$
$SQ_{Tratamento}=\frac{\sum t^2}{r}-\frac{(\sum x)^2}{N}$

$SQ_{Bloco}=\frac{\sum B^2}{K}-\frac{(\sum x)^2}{N}$

$SQ_{Residuo_{DIC}}=SQ_{Total}-SQ{Tratamento}$

$SQ_{Residuo_{BOC}}=SQ_{Total}-SQ{Tratamento}-SQ_{Bloco}$

$SQ_{Residuo_{Quadrado Latino}}=SQ_{Total}-SQ{Tratamento}-SQ_{Linha}-SQ_{Coluna}$

$G.L._{Tratamento}=K-1$; onde k = Número de tratamentos.

$G.L._{Bloco}=B-1$; B = Número de Blocos.

$G.L._{Residuo_{DIC}}=N-K$; onde N = Número total de parcelas.

$G.L._{Residuo_{BOC}}=(K-1)(B-1)$

$G.L._{Residuo_{Quad.Lat.}}=(N-1)-((C-1)+(L-1)+(K-1))$ ou $(L-1).(C-2)$; onde L= Número de Linhas, e C = Número de Colunas.

$G.L._{Total}=N-1$

$QM_{Tratamento}=\frac{SQ_{Tratamento}}{G.L._{Tratamento}}$

$QM_{Bloco}=\frac{SQ_{Bloco}}{G.L._{Bloco}}$

$QM_{Residuo}=\frac{SQ_{Residuo}}{G.L._{Residuo}}$

$F_{Tratamento}=\frac{QM_{Tratamento}}{QM_{Resido}}$

$F_{Bloco}=\frac{QM_{Bloco}}{QM_{Resido}}$

$\Delta=q(n,n).\frac{\sqrt{QM_{resíduo}}}{\sqrt{r}}$, onde $\Delta$ = Diferença Mínima Significativa (DMS) e r são repetições